题目

知识再现：已知，如图，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延长CB至G使BG＝DN，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN＝BM+DN．   （1） 知识探究：在如图中，作AH⊥MN，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明； （2） 知识应用：（2）如图，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，AD＝6，则CD的长为； （3） 知识拓展：如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的长． 答案：答：AB＝AH，证明：如图1∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°， ∴∠ABG=180°−∠ABC=90°， 又∵AB=AD，∵在△ABG和△ADN中，{AB=AD∠ABG=∠ADNBG=DN，∴△ABG≌△ADN（SAS），∴∠BAG=∠DAN，AG=AN， ∵∠BAD=90°，∠MAN=45°， ∴∠DAN+∠BAM=90∘−∠MAN=45°， ∴∠BAG+∠BAM=45°， 即∠GAM=45°， ∵在△GAM和△NAM中，{AG=AN∠GAM=∠NAMAM=AM，∴△GAM≌△NAM（SAS），又∵GM和NM是对应边，∴AB=AH（全等三角形对应边上的高相等）；知识应用：（2）如图，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，AD＝6，则CD的长为____________；【答案】3知识拓展：（3）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的长．【答案】解：如图3，过点A作AM⊥EF交EF于点M，∠AEB=90∘−∠1，∠FEC=2∠1，∠AEM=180∘−∠AEB−∠FEC=90∘−∠1， ∴∠AEB=∠AEM， 在△ABE和△AME中，{∠ABE=∠AME=90∘，∠AEB=∠AEFAE=AE，∴△ABE≌△AME（AAS），∴BE=ME=12BC=12AB=12， AB=AM=AD， 在Rt△ADF和Rt△AMF中，{AD=AMAF=AF， Rt△ADF≌Rt△AMF，∴MF=DF， 设DF=x，∴EF=12+ x；FC=24− x；EC=12，在Rt△EFC中，122+(24−x)2=(x+12)2， 解得x=8， 故DF的长为8. 答：AB＝AH， 证明：如图1 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠D=90°，  ∴∠ABG=180°−∠ABC=90°，  又∵AB=AD， ∵在△ABG和△ADN中， {AB=AD∠ABG=∠ADNBG=DN， ∴△ABG≌△ADN（SAS）， ∴∠BAG=∠DAN，AG=AN，  ∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，  ∴∠DAN+∠BAM=90∘−∠MAN=45°，  ∴∠BAG+∠BAM=45°，  即∠GAM=45°，  ∵在△GAM和△NAM中， {AG=AN∠GAM=∠NAMAM=AM， ∴△GAM≌△NAM（SAS）， 又∵GM和NM是对应边， ∴AB=AH（全等三角形对应边上的高相等）； 【1】3 解：如图3，过点A作AM⊥EF交EF于点M， ∠AEB=90∘−∠1，∠FEC=2∠1，∠AEM=180∘−∠AEB−∠FEC=90∘−∠1， ∴∠AEB=∠AEM， 在△ABE和△AME中， {∠ABE=∠AME=90∘，∠AEB=∠AEFAE=AE， ∴△ABE≌△AME（AAS）， ∴BE=ME=12BC=12AB=12， AB=AM=AD， 在Rt△ADF和Rt△AMF中， {AD=AMAF=AF， Rt△ADF≌Rt△AMF， ∴MF=DF， 设DF=x， ∴EF=12+ x；FC=24− x；EC=12， 在Rt△EFC中，122+(24−x)2=(x+12)2， 解得x=8， 故DF的长为8.

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