题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣  ），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点． （1） 求A、B两点的坐标； （2） “蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3） 当△BDM为直角三角形时，求m的值． 答案： 解： y=mx2−2mx−3m=m(x−3)(x+1)，  ∵m≠0，∴当y=0时， x1=−1，x2=3， ∴A(−1，0)，B(3，0) 解：设 C1：y=ax2+bx+c ，将A. B. C三点的坐标代入得：{a−b+c=09a+3b+c=0c=−32， 解得 {a=12b=−1c=−32， 故 C1：y=12x2−x−32. 如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B. C的坐标可得直线BC的解析式为： y=12x−32， 设 P(x，12x2−x−32)， 则 Q(x，12x−32)， PQ=12x−32−(12x2−x−32)=−12x2+32x，S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=12PQ⋅OB=12×(−12x2+32x)×3=−34(x−32)2+2716， 当 x=32 时， S△PBC 有最大值， Smax=2716， 12×(32)2−32−32=−158， P(32，−158)； 解： y=mx2−2mx−3m=m(x−1)2−4m， 顶点M坐标(1，−4m)，当x=0时，y=−3m，∴D(0，−3m)，B(3，0)，∴DM2=(0−1)2+(−3m+4m)2=m2+1， MB2=(3−1)2+(0+4m)2=16m2+4， BD2=(3−0)2+(0+3m)2=9m2+9， 当△BDM为Rt△时有： DM2+BD2=MB2 或 DM2+MB2=BD2. DM2+BD2=MB2 时有： m2+1+9m2+9=16m2+4， 解得m=−1(∵m<0，∴m=1舍去)；DM2+MB2=BD2. 时有： m2+1+16m2+4=9m2+9， 解得 m=−22 ( m=22 舍去).综上，m=−1或 −22 时， △BDM 为直角三角形

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