题目

如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是 的中点． （1） 求证：AC是⊙O的切线； （2） 如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP； （3） 在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC＝ ，CG＝4，求OP的长． 答案： 证明：如图1中，连接OC．∵OF⊥BC，∴∠B+∠BOF＝90°，∵AC＝BC， ∴∠A=∠B ∴∠ACO=90° ∴∠A+∠BOF＝90°，∵点D是 CE⌢ 的中点，∴ CD⌢=DE⌢ ，∴∠COD＝∠EOD＝∠BOF，∴∠A+∠COD＝90°，∴∠ACO＝9°，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线 证明：如图2中，连接OC， ∵EF⊥HC， ∴CG＝GH， ∴EF垂直平分HC， ∴FC＝FH， ∵∠CFP＝ 12 ∠COE， ∵∠COD＝∠DOE， ∴∠CFP＝∠COD， ∵∠CHP＝ 12 ∠COD， ∴∠CHP＝ 12 ∠CFP， ∴点P在以F为圆心FC为半径的圆上， ∴FC＝FP＝FH， ∵DO＝OF， ∴DO+OP＝OF+OP＝FP＝CF， 即CF＝OP+DO 解：如图3， 连接CO并延长交⊙O于M，连接MH， ∴∠∠CMH＝∠CDH，∠CHM＝90°， ∵OF⊥CH于G， ∴CH＝2CG＝8， 在Rt△CHM中，tan∠CMH＝ CHMH ＝tan∠HDC＝ 247 ， ∴ 8MH=247 ， ∴MH＝ 73 ， ∴CM＝ CH2+MH2 ＝ 253 ， ∴OD＝OF＝ 256 ∵∠CGO＝∠CHM＝90°， ∴OG∥MH， ∵OC＝OM， ∴OG＝ 12 MH＝ 76 ， ∴FG＝OF﹣OG＝3， 在Rt△CGF中，根据勾股定理得，CF＝ CG2+FG2 ＝5， 由（2）知，OP＝CF﹣OD＝5﹣ 256 ＝ 56 ．

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