题目

我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. （1） 如图①，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M，N分别在AD，CD上，且∠MBN=60°，试判断四边形DMBN是否为“等邻边四边形”？请说明理由. （2） 如图②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12.5，点E在BC上，且BE=6，在矩形ABCD内或边上，确定一点P，使四边形ABEP为最大面积的“等邻边四边形”，若能实现，请求出最大面积；若不能实现，说明理由. 答案： 解：结论：四边形DMBN是“等邻边四边形“. 理由：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ∴∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=CD=AD， ∴△ABD，△BCD都是等边三角形， ∴BD=DC，∠MDB=∠C=60°， ∵∠MBN=∠DBC=60°， ∴∠MBD=∠NBC， ∴△MBD≌△NBC， ∴MB=BN， ∴四边形DMBN是“等邻边四边形“. 解：能实现. 理由：如图， 以A为圆心，AB为半径画弧， 当点P在 PI⌢ （不包括点I）上时，四边形ABEP是“等邻边四边形“， 点P在AD上时，当AB=AP时，四边形ABEP的面积的最大值为： 12AB⋅(BE+AP)=12×8×(6+8)=56 ; 以E为圆心，EB为半径画弧， 当点P在 HT⌢ （不包括点H和点T）上时，四边形ABEP是“等邻边四边形“， 有P′E⊥AE，AE= 62+82=10 ，P′E=BE=6,四边形ABEP的面积的最大值为： S△ABE+S△AEP'=12×8×6+12×10×6=54 ， 当点P在线段AE的垂直平分线上时，即AP=PE,易知AP= 253 ， 此时四边形ABEP是“等邻边四边形“，面积= 12×8×6+12×8×253=1723 . 综上所述，等邻边四边形ABEP的面积的最大值为： 1723 .

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