题目

已知函数， （1）当时，在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围； （2）当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围． 答案：【解】　(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立， 得m≤在(1，＋∞)上恒成立， 令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0， 当x∈(1，e)时，g′(x)<0； x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0. 故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， 故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e. 所以m≤e.                                         .......6分 (2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点， φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0， 所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减， 当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增． 所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2， 且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0， 所以2－2ln 2<a≤3－2ln 3. 所以实数a的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．                 .......12分

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