题目

阅读下面材料：   小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tanα=，求tan2α的值． 小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含 锐角α的直角三角形：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α.她通 过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α角的几种方法： 方法1：如图1，作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连结AD. 方法2：如图2，以直线BC为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△A，BC．   方法3：如图3，以直线AB为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC，．     ……                                                                                                         图1                           图2                          图3 请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值．（一种方法即可） 答案：解：方法1： ∵线段AB的垂直平分线BC交于点D， AD=BD, ……… …………1分 ∴∠1=∠B ∵∠B=α  ∴∠2=∠1+∠B=2α… ……3分 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα=  ∴ 设……………………………4分 在Rt△ADC中，∠C=90°，由勾股定理得，…… ……………5分 解得：……… ………………6分 ∴……… ………………7分 方法2：过A作AD⊥A＇B于点D. …………………………………………1分 ∵△ABC、△A＇BC关于BC对称， ∴∠1=∠ABC =α ∴∠A＇BA=∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα=∴ 设…………………………3分 ∵ ∴………………………………………………………4分 ∴……………………………………………………………5分 在Rt△ABD中，∠ADB=90°， ∴………………………………………………………………6分 ∴………………………………………………7分  方法3：延长C＇A交BC的延长线于点D. ………………………………………1分 ∵△ABC、△ABC’关于直线AB对称， ∴∠1=∠ABC = α，BC＇= BC ∴∠C＇BC=∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分 ∵tanα=∴设AC = k,则BC = 2k， BC＇= 2k……………………………………………………………………3分 设CD = x ∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°, ∴△ACD ∽△BC’D………………………………………………………4分 ∴  ∴ ∴C＇D = 2 x  ∴AD =2x -k 在Rt△ACD中，∠ACD=90°， 由勾股定理得， ……… ………5分 ………… ……………6分 ∴…… ………7分

查看本题答案和解析