题目

已知函数f（x）=x2+ax﹣2lnx（a∈R）． （1）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值； （2）若函数f（x）在区间（0，2]上单调递减，求实数a的取值范围． 答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （2）问题转化为在区间（0，2]上恒成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可． 【解答】解：（1）． 当a=1时，，定义域为（0，+∞）． 其导函数为 令f'（x）＞0可得：x＞1； 令f'（x）＜0可得：0＜x＜1． 故函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）， f（x）的极小值为，无极大值． （2）f（x）的导函数为， 由函数f（x）在区间（0，2]上为减函数可得： f'（x）≤0即x2+ax﹣2≤0在区间（0，2]上恒成立， 即在区间（0，2]上恒成立， 设，可知y=g（x）在（0，2]上单调递减， 所以a≤gmin（x）=g（2）=﹣1． 故所求实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．

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