题目

 已知函数  的定义域为 ，若对于任意的 ，，都有 ，且当  时，有 ． （1）证明： 为奇函数； （2）判断  在  上的单调性，并证明； （3）设 ，若 （ 且 ）对  恒成立，求实数  的取值范围．   答案：（1） 令 ， 所以 ， 令 ， 所以 ， 所以 ，故  为奇函数．       （2）  在  上为单调递增函数． 任取 ， 所以 ， 所以 ， 因为  是定义在  上的奇函数， 所以 ， 所以 ， 所以  在  上为单调递增函数．       （3） 因为  在  上为单调递增函数， 所以 ， 因为  对  恒成立， 所以 ， 当  时， 所以 ； 当  时， 所以 ．

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