题目

已知∠AOB＝120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合． （1）依据题意补全图1； （2）用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明； （3）连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ＝4，并证明． 答案：（1）详见解析；（2）∠CQO+∠CPO＝180°，详见解析；（3）OC＝4时，对于任意点P，总有OP+OQ＝4，详见解析. 【分析】 （1）根据题意补全图形即可； （2）根据四边形内角和为360°可得答案； （3）连接OC，在射线OA上取点D，使得DP=OQ，连接CD，首先证明△COQ≌△CDP，然后△COD为等边三角形，进而可得答案． 【详解】 （1）补图如图1： （2）∠CQO+∠CPO＝180°， 理由如下：∵四边形内角和360°， 且∠AOB＝120°，∠PCQ＝60°， ∴∠CQO+∠CPO＝∠1+∠2＝180°． （3）OC＝4时，对于任意点P，总有OP+OQ＝4． 证明：连接OC，在射线OA上取点D，使得DP＝OQ，连接CD． ∴OP+OQ＝OP+DP＝OD． ∵∠1+∠2＝180°， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠1＝∠3． ∵CP＝CQ， 在△CQO和△CPD中 ， ∴△COQ≌△CDP（SAS）． ∴∠4＝∠6，OC＝CD． ∵∠4+∠5＝60°， ∴∠5+∠6＝60°． 即∠OCD＝60°． ∴△COD是等边三角形． ∴OC＝OD＝OP+OQ＝4． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定，关键是正确画出图形，掌握等边三角形的判定和性质．

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