题目

已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，，其中，常数． （1）求证：是一个定值； （2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期； （3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 答案：（1）由   ①， 得   ② ②－①，得，     ………………………………（2分） 因为，所以（定值）．    ………………………………（4分） （2）当时，，故，，  ……………（1分） 根据（1）知，数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是，所以， ，，      …………………………………………（3分） 当时，的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列，  …………（4分） 所以，所以，，所以，数列是周期数列，其最小周期为．                                 ……………………………………………………（6分） （3）因为数列是有理项等差数列，由，，，得 ，整理得， 得（负根舍去），……………………………………………………（1分） 因为是有理数，所以是一个完全平方数，设（）， 当时，（舍去）．       ……………………………………………………（2分） 当时，由，得， 由于，，所以只有，符合要求，    …………………………（4分） 此时，数列的公差，所以（）．…………（6分) 对任意，若是数列中的项，令，即， 则，时，，时，，故不是数列中的项．

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