题目

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE． （1）求△ADE的周长的最小值； （2）若CD=4，求AE的长度． 答案：（1）6+；（2）3﹣或3+ 【分析】 （1）根据勾股定理得到AB=AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论； （2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论 【详解】 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3 ∴AB=AC=6， ∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD， ∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE， ∴当DE最小时，△ADE的周长最小， 过点C作CF⊥AB于点F， 当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3， ∴△ADE的周长的最小值是6+3； （2）当点D在CF的右侧， ∵CF=AB=3，CD=4， ∴DF=， ∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣； 当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+， 综上所述：AE的长度为3﹣或3+． 【点睛】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．

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