题目

如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，D是BC的中点． (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点A1到平面AB1D的距离． 答案：解　(1)证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD. ∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴四边形ABB1A1是平行四边形， ∴O是A1B的中点． 又D是BC的中点， ∴OD∥A1C， ∵OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. (2)由(1)知O是A1B的中点， ∴点A1到平面AB1D的距离等于点B到平面AB1D的距离． ∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴BB1⊥平面ABC， ∴平面BCC1B1⊥平面ABC. ∵△ABC是正三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1D. 设点B到平面AB1D的距离为d， ∵VB1－ABD＝VB－AB1D， ∴S△ABD·BB1＝S△AB1D·d， ∴d＝＝＝ ＝， ∴点A1到平面AB1D的距离为.

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