题目

如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接 PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N.，AD =4. （1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数关系为:∠PDM___ ∠EPN； ②的值是            ； （2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由； （3）如图3，以线段PD ，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y.请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.   答案：（1）①=；②；（2）成立，证明见解析；（3），最小值为 【解析】 （1）①根据PE⊥PD， MN⊥AB得到∠DPE=90°，∠PMD=∠PNE=90°，即可得到∠PDM=∠EPN； ②根据CD=，AD =4，∠ADC=90°，得到∠ACD=30°，设MP=x，则NP=4-x，得到MC=MP=x，DM=-x=（4-x），证明△PDM∽△EPN，得到答案； （2）设NP=a，则MP=4+a，证明△PDM∽△EPN，即可得到结论成立； （3）利用勾股定理求出，再根据矩形的面积公式计算得到函数关系式. 【详解】 （1）①∵PE⊥PD， ∴∠DPE=90°， ∴∠DPM+∠EPN=90°， ∵MN⊥AB， ∴∠PMD=∠PNE=90°， ∴∠PDM+∠DPM=90°， ∴∠PDM=∠EPN； 故答案为：=； ②∵CD=，AD =4，∠ADC=90°， ∴tan∠ACD=, ∴∠ACD=30°， 设MP=x，则NP=4-x， ∴MC=MP=x，DM=-x=（4-x）， ∵∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°， ∴△PDM∽△EPN， ∴==， 故答案为：； （2）成立， 设NP=a，则MP=4+a， ∵∠ACD=30°， ∴MC=（4+a）， ∴MD=(4+a)-4=a， 由（1）同理得∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°， ∴△PDM∽△EPN， ∴=， （3）∵PM=x， ∴PN=4-x，EN=， ∴， ∴，， ∴矩形PEFD的面积为y=， ∵>0， ∴当x=3时，y有最小值为. 【点睛】 此题考查矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用面积公式得到函数关系式及最小值，解答此题中运用类比思想.

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