题目

　　某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动.经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x(单位：万件)与年促销费用t(单位：万元)之间满足3-x与t+1成反比例.若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件.已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用) (1)请把该工厂2017年的年利润y(单位：万元)表示成促销费t(单位：万元)的函数； (2)试问：当2017年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大? 答案： (1)设反比例系数为k(k≠0).由题意有3-x=.       ……………………2分 又t=0时，x=1，所以 3-1=，k=2， 则x与t的关系是x=3-(t≥0) ……………………………………3分 依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为(3+32x)万元，促销费用为t万元， 则每件纪念品的定价为元/件……………………… 5分 于是y=x·-(3+32x)-t，进一步化简，得y=--(t≥0). 因此工厂2017年的年利润为y=--(t≥0)…………………….8分 (2)由(1)知，y=--(t≥0)=50-≤50-2=42，………11分 当且仅当=，即t=7时取等号，……………12分 所以当2017年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元. 14分 【精要点评】正确审题，准确建立数学模型，然后根据模型特征选取求最值的具体方法.如本题建立的函数模型中可结合基本不等式求得最小值.

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