题目

已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11． （1）求a1的值； （2）求数列{an}的前n项和Sn； （3）设数列{bn}满足bn=，求证：b1+b2+…+bn＜． 答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1． （2）当n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），从而得到数列{an}是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列{an}的前n项和Sn． （3）由=（），由此能证明b1+b2+…+bn＜． 【解答】解：（1）∵Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11． ∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1）， ∵a2=11，解得a1=5． （2）当n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1， 得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）， ∴（n﹣1）an﹣（n﹣1）an﹣1=6（n﹣1）， ∴an﹣an﹣1=6，n≥2，n∈N*， ∴数列{an}是首项a1=5，公差为6的等差数列， ∴an=a1+6（n﹣1）=6n﹣1， ∴． （3）证明：∵ =， ∴（13分） =， ∴b1+b2+…+bn＜．（14分） 【点评】本题考查数列的首项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和放缩法的合理运用．

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