题目

已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,cn=. (1)求证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{cn}的前n项和Tn,并求使得am>对任意n∈N都成立的正整数m的最 小值. 答案：解:(1)因为an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1), 因为a1=1,a1+1=2≠0, 所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列. 所以an+1=2×2n-1, 所以an=2n-1. (2)因为cn==(-), 所以Tn=(-+-+…+-) =(-) ==. 所以==6+, n∈N*, 所以6+≤15, 所以当n=1时,取得最大值15. 要使得am>对任意n∈N*都成立,结合(1)的结果,只需2m-1>15,由此得m>4. 所以正整数m的最小值是5.

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