题目

（本小题满分12分）    已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB．BC的中点， （1）证明：PF⊥FD； （2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；． （3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 答案：解：（1）证明：连接AF，则AF＝，DF＝， 又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD， ∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A， ……………4分 （2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD． 再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP， ∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD． 从而满足AG＝AP的点G为所求．………………8分        ⑶建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA⊥平面ABCD ，所以是与平面所成的角． 又有已知得，所以，所以 ． 设平面的法向量为，由 得，令，解得：． 所以．又因为，所以是平面的法向量，易得，所以． 由图知，所求二面角的余弦值为．……………………12分

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