题目

2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图： （Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望； （Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？ 经济损失不超过 4000元 经济损失超过 4000元 合计 捐款超过 500元 a=30 b 捐款不超 过500元 c d=6 合计 P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附：临界值表参考公式：，． 答案：【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图． 【专题】计算题；规律型；转化思想；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失； （Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，即可求这两户在同一分组的概率； （Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则： =（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360… （Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户， 损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户， 损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户， 因此，这两户在同一分组的概率为P==… （Ⅲ）如图： 经济损失不超过 4000元 经济损失超过 4000元 合计 捐款超过 500元 30 9 39 捐款不超 过500元 5 6 11 合计 35 15 50 K2=≈4.046＞3.841， 所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．… 【点评】本题考查频率分布直方图，独立性检验知识，考查古典概型，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．

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