题目

如图，正方形ABCD中，E为BC中点连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF=CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1个                      B．2个                       C．3个                       D．4个 答案：D 【解析】 如图，作CM⊥DF于M．首先证明△DAF≌△CDM，推出DM=AF，再证明DF=2AF，推出DM=MF，推出CD=CF，再证明∠GDF=∠GFD，推出GD=GF，再证明GF=GA即可证明GA=GD，由此即可一一判断. 【详解】 如图，作CM⊥DF于M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∴DAB=∠B=∠ADC=90°， ∵∠ADF+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCM=90°， ∴∠ADF=∠DCM， ∵DF⊥AE，CM⊥DF， ∴∠AFD=∠CMD=90°， ∴△DAF≌△CDM， ∴CM=DF，DM=AF， ∵∠ADF+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∵BE=CE， ∴AB=2BE， ∴tan∠BAE=tan∠ADF=， ∴， ∴DM=MF，∵CM⊥DF， ∴CD=CF，故①正确， ∴∠CDF=∠CFD， ∵∠CDG=∠CFG=90°， ∴∠GFD=∠GDF， ∴GF=GD， ∵∠GDF+∠DAF=90°，∠GFD+∠AFG=90°， ∴∠GAF=∠GFA， ∴GF=GA， ∴GD=GA， ∴G是AD中点，故②正确， ∵∠AFD=∠GFC， ∴∠AFG=∠CFD，∠GAF=∠CDF， ∴△DCF∽△AGF，故③正确， 设AF=a，则DF=2a，AB=a，BE=a， ∴AE=a，EF=a， ∴，故④正确， 故选D． 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

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