题目

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB是半圆⊙O：x2 + y2 = 1（y≥0）的直径，C是半圆O（除端点A、B）上的任意一点，在线段AC的延长线上取点P，使︱PC︱=︱BC︱，试求动点P 的轨迹方程．   答案：解   连结BP，由已知得∠APB = 45°．                           …………………… 2分 设P（x，y），则 ，，由PA到PB的角为45°， 得，化简得 x2 +（y－1）2 = 2．      …………………… 10分 由已知，y＞0且＞0，故点P的轨迹方程为x2 +（y－1）2 = 2（x＞－1，y＞0）．                                                                                  …………………… 12分 法二  连结BP，由已知可得∠APB = 45°，∴ 点P在以AB为弦，所对圆周角为45°的圆上． 设该圆的圆心为D，则点D在弦AB的中垂线上，即y轴上，且∠ADB = 90°，∴ D（0，1），︱DA︱=，圆D的方程为x2 +（y－1）2 = 2． 由已知，当点C趋近于点B时，点P趋近于点B；当点C趋近于点A时，点P趋近于点（－1，2），所以点P的轨迹方程为x2 +（y－1）2 = 2（x＞－1，y＞0）．

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