题目

（12分）已知斜三棱柱 在底面上的射影恰为的中点又知； （1）求证：平面； （2）求到平面的距离； （3）求二面角的余弦值； 答案：（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D    ∴平面A1ACC1⊥平面ABC∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC    ∴BC⊥平面A1ACC1    ∴BC⊥AC1 ∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B   ∴AC1⊥平面A1BC ----------4分 （2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系 ∵AC1⊥平面A1BC    ∴AC1⊥A1C ∴四边形A1ACC1是菱形    ∵D是AC中点    ∴∠A1AD=60°∴A(2,0,0)  A1(1,0,)  B(0,2,0)   C1(-1,0,)    ∴=(1,0,)  =(-2,2,0) 设平面A1AB的法向量=(x,y,z)   ∴  令z=1  ∴=(,,1) ∵=(2,0,0)    ∴    ∴C1到平面A1AB的距离是 --------------8分 （3）平面A1AB的法向量=(,,1)    平面A1BC的法向量=(-3,0,) ∴    设二面角A-A1B-C的平面角为，为锐角， ∴    ∴二面角A-A1B-C的余弦值为           ---------------------12分

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