题目

（湖南卷理17）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.   （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB; （Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小. 答案：解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知， △BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD, 所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以 PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB. 又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB. （Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF. 过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知 平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE. 在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°， 所以，AF=2AB=2=AP. 在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG. 则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得， PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）. 在等腰Rt△PAF中， 在Rt△PAB中， 所以，在Rt△AHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 解法二: 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关 各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0）， P（0，0，2）, （Ⅰ）因为， 平面PAB的一个法向量是， 所以共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为平面PBE， 故平面PBE⊥平面PAB.    (Ⅱ)易知          设是平面PBE的一个法向量，则由得 所以       设是平面PAD的一个法向量，则由得 所以故可取       于是，       故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

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