题目

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a、b∈R,b≥-2)在区间［-,］单调递减,设g(x)=-3f(x)+mx2-6x(m∈R).(1)求函数f(x)的解析式.(2)若x∈R+时,g′(x)≤恒成立,求实数m的取值范围. 答案：解:(1)f′(x)=x2+ax+b,∵f(x)在［-,］递减,∴x∈［-,］时f′(x)≤0恒成立, f′()=2+a+b≤0,①f′(-)=2-a+b≤0,②①+②得4+2b≤0,∴b≤-2.又∵b≥-2,∴b=-2.∴f′(x)=x2+ax-2. 若≤0,即a≥0时,则f′()=2+a-2≤0,即a≤0,∴a=0.若＞0,即a＜0时,则f′(-)=2-a-2≤0,即a≥0与a＜0矛盾,∴舍去.综上a=0.∴f(x)=x3-2x+1. (2)g(x)=-3(x3-2x+1)+mx2-6x=-x3+mx2-3,∴g′(x)=-3x2+2mx≤(x∈R)在x∈R+时恒成立. ∴2mx≤3x2+.∵x＞0,∴m≤(3x+)在x∈R+时恒成立. x＞0时,3x+≥2,即3x+的最小值为2.∴m≤·2,即m≤1.

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