题目

已知关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0，a∈R. (1)已知不等式的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，求实数a的值； (2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. (3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0. 答案：因为ax2+(a-2)x-2≥0的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)， 所以方程ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2， 所以-1×2=，解得a=1. (2) 若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，则(a-2)x2+(a-2)x+1≥0对x∈R恒成立.因此，①当a=2时，不等式变为1≥0，显然成立，②当a≠2时，得2<a≤6.综上，实数a的取值范围为[2，6]. (3) ax2+(a-2)x-2≥0(x+1)(ax-2)≥0.当a=0时，原不等式变形为-2x-2≥0，解得x≤-1； 当a≠0时，ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=， 当a>0时，-1<，所以(x+1)(ax-2)≥0x≤-1或x≥； 当a<-2时，-1<，所以(x+1)(ax-2)≥0-1≤x≤； 当a=-2时，-1=，所以(x+1)(ax-2)≥0(x+1)2≤0x=-1； 当-2<a<0时，-1>； 所以(x+1)(ax-2)≥0≤x≤-1， 综上可得，①当a=0时，原不等式的解集为{x|x≤-1}； ②当a>0时，原不等式的解集为； ③当-2<a<0时，原不等式的解集为； ④当a=-2时，原不等式的解集为； ⑤当a<-2时，原不等式的解集为.

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