题目

如图所示,抛物线y=x2的动弦AB所在直线与圆x2+y2=1相切,分别过点A、B的抛物线的两条切线相交于点M,求点M的轨迹方程.(文)已知函数f(x)=x3+(a-1)x2+bx(a、b为常数)在x=1和x=4处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x∈［-2,2］时,函数y=f(x)的图象在直线5x+2y-c=0的下方,求实数c的取值范围. 答案：答案：解法一:设抛物线的弦AB与圆x2+y2=1切于点P(x0,y0),则x02+y02=1,过P点的圆的切线方程为x0x+y0y=1.由得y0x2+x0x-1=0.(*)由Δ=x02+4y0=-y02+4y0+1＞0,得2＜y0＜2+.又∵-1≤y0≤1且y0≠0,∴2＜y0≤1且y0≠0. 令A(x1,x12),B(x2,x22),知x1、x2是方程(*)的两个实根,由根与系数的关系,得x1+x2=①,x1x2=②.过A点的抛物线的切线AM的方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.③同理,BM的方程为y=2x2x-x22.④联立①②③④,解得∴x0= 代入x02+y02=1得()2+()2=1,整理,得y2-4x2=1(x∈R,y≤-1或y＞),这就是点M的轨迹方程. 解法二:设直线AB的方程为y=kx+b,且A(x1,x12),B(x2,x22),∵直线AB与圆相切,故=1,即b2=1+k2.由得x2-kx-b=0,由Δ=k2+4b=b2+4b-1＞0,得b＜-2或b＞-2+. 又∵b2=1+k2≥1,∴b＜-2或b≥1.由根与系数关系有x1+x2=k,x1x2=-b.又过点A的抛物线的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①同理,过点B的抛物线的切线方程为y=2x2x-x22.②联立①②解得设M=(x,y),则 又∵b2=1+k2,∴y2-4x2=1(x∈R,y≤-1或y＞2+),这就是点M的轨迹方程. (文)解:(1)f′(x)=x2+(a-1)x+b,由题设得解之,得∴f(x)=x3-x2+4x. (2)由题设知f(x)＜-(5x-c),即x3-x2+4x＜-(5x-c),∴c＞x3-5x2+13x. 设Q(x)=x3-5x2+13x,x∈［-2,2］. c只要大于Q(x)的最大值即可.Q′(x)=2x2-10x+13,当x∈［-2,2］时,Q′(x)＞0, ∴Q(x)max=Q(2)=.∴c＞.

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