题目

如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O为坐标原点，OC为轴，OA为轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为秒。 （1）求直线AC的解析式； （2）用含的代数式表示点D的坐标； （3）当为何值时，△ODE为直角三角形？ （4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式。 答案： 解：（1）根据题意，得CO=AB=4，则A（0，3），B（4，3）， ∴直线AC：； （2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H， 则有△ADF∽△DCH∽△ACO， ∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC， 而AD=（其中0≤≤），OC=AB=4，AC=5，∴FD=AD=，AF=AD=， DH=，HC=， ∴D（，）； （3）CE=，E（，0），OE=OC-CE=4-，HE=|CH-CE|=， 则OD2=DH2+OH2==， DE2=DH2+HE2==， 当△ODE为Rt△时，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2， 即①， 或②， 或③， 上述三个方程在0≤≤内的所有实数解为 ，，，； （4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即和时，以Rt△ODE的三个顶点不确定对称轴平行于轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于轴的抛物线D（，），E（4-，0） 当时，D（，），E（3，0），因为抛物线过O（0，0）， 所以设所求抛物线为，将点D，E坐标代入，求得，， ∴所求抛物线为 （当时，所求抛物线为）

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