题目

如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD. (1)证明：∠BDC＝∠PDC； (2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长． 答案： (1)证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD， ∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°. ∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ADC＋∠BDC＝90°. ∵PD⊥AD，∴∠PDC＋∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝∠PDC. (2)解：如图，过点C作CM⊥PD于点M. ∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM. ∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P， ∴△CPM∽△APD，∴＝. 设CM＝CE＝x， ∵CE∶CP＝2∶3， ∴PC＝x. ∵AB＝AD＝AC＝1， ∴＝， 解得x＝， ∴AE＝1－＝.

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