题目

已知函数 . （ 1 ）讨论 的单调性； （ 2 ）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标 . 答案： (1) f(x)=x 3 -x 2 +ax+1,f ’ (x)=3x 2 -2x+a ①当 a ≥ 时， f’(x)≥0恒成立, ∴ f(x)在R上单调递增。 ②当a< 时， f’( x )=0,得 出 f’(x)在(- ∞ ， )( ,+ ∞)上为正 在（ ， ）上为负，在 , 处为 0 所以 f(x)在区间 (- ∞ ， )( ,+ ∞)上单调递增 在区间 ( , )上单调递减 综上，当 a≥ 时 , f( x )单调递增区间为(-∞，+∞)， 当 a < 时， f(x)单调递增区间为(-∞, ), ( ,+∞ ),π f(x)单调递增区间为( ， ) (2)设切点(x 0 , y 0 ) ,则y 0 =x 0 3 -x 0 2 +ax 0 +1 k=f‘(x 0 )= 3 x 0 2 -2x 0 + a ∵ f(x)过原点 ∴ =3 x 0 2 -2x 0 + a x 0 3 -x 0 2 +ax 0 +1=3 x 0 3 -2x 0 2 + a x 0 2 x 0 3 -x 0 2 =1 (x 0 -1)(2x 0 2 +x 0 +1)=0 ∴x 0 =1， y 0 =a+1 即切点 ( 1 , a+1) ,k=a+1,切线y=(a+1)x ∵ 解得 : x 3 -x 2 -x+1=0 (x+1)(x- 1) 2 =0 x=-1或x=1. ∴ f(-1)=-1-a，f(1)=a+1 ∴ 公共点 (- 1 , -1-a) ,(1,1+a)

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