题目

△ABC的外接圆半径R=，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且= （1）求角B和边长b； （2）求S△ABC的最大值及取得最大值时的a，c的值，并判断此时三角形的形状． 答案：【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（1）运用两角和的正弦公式将已知等式化简整理，得到2sinAcosB=sin（B+C），根据三角函数的诱导公式可得sin（B+C）=sinA＞0，从而得出cosB=，可得，最后由正弦定理加以计算，可得边b的长； （2）由b=3且，利用余弦定理算出a2+c2﹣ac=9，再根据基本不等式算出ac≤9．利用三角形的面积公式算出S△ABC=，从而得到当且仅当a=c时，S△ABC有最大值，进而得到此时△ABC是等边三角形． 【解答】解：（1）∵， ∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）， ∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0， ∴2sinAcosB=sinA，可得cosB=． 又∵B∈（0，π），∴， 由正弦定理，可得b=2RsinB=2•sin=3； （2）∵b=3，， ∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得a2+c2﹣ac=9， 因此，ac+9=a2+c2≥2ac，可得ac≤9，当且仅当a=c时等号成立， ∵S△ABC==，∴ 由此可得：当且仅当a=c时，S△ABC有最大值，此时a=b=c=3，可得△ABC是等边三角形． 　

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