题目

已知，函数，（其中为自然对数的底数）． （1）求函数在区间上的最小值； （2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 答案：（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：∵，∴． 令，得． ①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．………2分 ②若，当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值．………4分 ③若，则，函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最小值．………6分 综上可知，当时，函数在区间上无最小值； 当时，函数在区间上的最小值为； 当时，函数在区间上的最小值为．………7分 （2）解：∵，， ∴ ．………8分 由（1）可知，当时，． 此时在区间上的最小值为，即． 当，，，  ∴．………10分 曲线在点处的切线与轴垂直 等价于方程有实数解． 而，即方程无实数解．故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直．………14分

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