题目

如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是 PC，PA的中点，且PA=AB=2AD．（I）求证：MN⊥CD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣M的余弦值；答案：设PA=AB=2AD=2，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0）， N（1，0，0）（I）证明：∴ ∴，∴MN⊥CD；（Ⅱ）解：由（I）知，M（1，，1），=（1，，1）， =（2，0，0），设平面ABM的法向量=（x，y，z），则•=0， •=0， ∴，∴ =（2，0，﹣1）， ∵平面APB的法向量=（1，0，0） ∴二面角P﹣AB﹣M的余弦值==；

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