题目

如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值． 答案：【考点】圆的综合题；三角形的外接圆与外心；切线的判定． 【分析】（1）欲证明BE是⊙O的切线，只要证明∠EBD=90°． （2）由△ABC∽△CBG，得=求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2=BF•BD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵BD是直径， ∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°， ∵∠A=∠D，∠A=∠EBC， ∴∠CBD+∠EBC=90°， ∴BE⊥BD， ∴BE是⊙O切线． （2）解：∵CG∥EB， ∴∠BCG=∠EBC， ∴∠A=∠BCG， ∵∠CBG=∠ABC ∴△ABC∽△CBG， ∴=，即BC2=BG•BA=48， ∴BC=4， ∵CG∥EB， ∴CF⊥BD， ∴△BFC∽△BCD， ∴BC2=BF•BD， ∵DF=2BF， ∴BF=4， 在RT△BCF中，CF==4， ∴CG=CF+FG=5， 在RT△BFG中，BG==3， ∵BG•BA=48， ∴即AG=5， ∴CG=AG， ∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°， ∴∠CHF=∠CBF， ∴CH=CB=4， ∵△ABC∽△CBG， ∴=， ∴AC==， ∴AH=AC﹣CH=． 　

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