题目

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C.1.求证：直线AE是⊙O的切线2.若EB=AB，，AE=24，求EB的长及⊙O的半径.  答案： 1.证明：连结BD.    ∵ AD是⊙O的直径，∴∠ABD =90°.∴∠1+∠D =90°.∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，∴∠D=∠BAE.   ∴∠1+∠BAE=90°.即 ∠DAE=90°.∵AD是⊙O的直径，∴直线AE是⊙O的切线.  2.解: 过点B作BF⊥AE于点F,则∠BFE=90°.∵ EB=AB, ∴∠E=∠BAE,EF=AE=×24=12. ∵∠BFE=90°, , ∴=15.   ∴ AB=15.           由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE,  ∴∠D=∠E.∵∠ABD=90°, ∴  .      设BD=4k，则AD＝5k. 在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝=3k, 可求得k=5.     ∴∴⊙O的半径为.   解析:（1）证得∠DAE=90°即可说明直线AE是⊙O的切线.；       （2）过点B作BF⊥AE构建直角三角形，利用三角函数和勾股定理进行计算。 

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