题目

已知F双曲线﹣=1的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若E在以AB为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是　　　　　　． 　 　 答案：　（1，2）　． 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由右顶点在以AB为直径的圆的外部，得|EF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围． 解答： 解：由题意，直线AB方程为：x=﹣c，其中c=， 因此，设A（﹣c，y0）（y0＞0），B（﹣c，﹣y0）， ∴﹣=1，解得y0=，得|AF|=， ∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外部， ∴|EF|＞|AF|，即a+c＞， 将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0， 两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2， 由于e＞1，则有1＜e＜2． 故答案为：（1，2）． 点评： 本题给出以双曲线通径为直径的圆，当右顶点在此圆外时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题． 　

查看本题答案和解析