题目

如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上． （1）求∠AED的度数； （2）求证：AB=BC； （3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º． 求 的值． 答案：解：(1)∵∠BCD=75º，AD∥BC   ∴∠ADC=105º          由等边△DCE可知：∠CDE =60º，故∠ADE =45º 由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB=90º ， ∴∠AED=45º       (2)方法一：由(1)知：∠AED=45º，∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上． 由△DCE是等边三角形得：CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上． ∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE 连接AC，∵∠AED =45º，∴∠BAC=45º，又AB⊥BC    ∴BA=BC． 方法二：过D点作DF⊥BC，交BC于点 可证得：△DFC≌△CBE  则DF=BC 从而：AB=CB   （3）∵∠FBC=30º，∴∠ABF=60º 连接AF，BF、AD的延长线相交于点G， ∵∠FBC=30º，∠DCB=75º，∴∠BFC=75º，故BC=BF 由(2)知：BA=BC，故BA=BF，∵∠ABF=60º，∴AB=BF=FA， 又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠FAG=∠G=30º ∴FG =FA= FB   ∵∠G=∠FBC=30º，∠DFG=∠CFB，FB=FG ∴△BCF≌△GDF ∴DF=CF，即点F是线段CD的中点． ∴=1

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