题目

如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点. （1）求点Q的坐标； （2）当P为抛物线上位于线段AB下方 （含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.     答案： 【解】(1) 解方程组 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,直线AB的垂直平分线方程 y－1=(x－2).  令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．   (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).∵点P到直线OQ的距离 d==,,∴SΔOPQ==.   ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.   ∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,  ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30．

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