题目

若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数. （Ⅰ）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明） （Ⅱ）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论； （Ⅲ）证明：，函数都是等比源函数. 答案：解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数.                                 （Ⅱ）函数不是等比源函数.                             证明如下： 假设存在正整数且，使得成等比数列，       ，整理得，     等式两边同除以得.       因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，       所以等式不可能成立，       所以假设不成立，说明函数不是等比源函数.      （Ⅲ）法1： 因为，都有， 所以，数列都是以为首项公差为的等差数列. ，成等比数列， 因为， ， 所以， 所以，函数都是等比源函数. （Ⅲ）法2： 因为，都有， 所以，数列都是以为首项公差为的等差数列.          由，（其中）可得          ，整理得          ，          令，则，          所以，          所以，数列中总存在三项成等比数列. 所以，函数都是等比源函数.

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