题目

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G． （1）求证：四边形ABDE是菱形； （2）若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长． 答案：【考点】菱形的判定与性质． 【分析】（1）首先证明四边形ABDE是平行四边形，再根据角平分线和平行线的性质证明∠BAD=∠ADB，然后可得AB=BD，从而可得结论； （2）首先证明∠GAB=∠GBH，根据cos∠GBH=可得cos∠GAB=，根据余弦定义可得==，再由菱形的性质可得AB=BD=14，从而可得AH、AG的长，进而可得GH的长． 【解答】（1）证明：∵AC∥BD，AB∥ED， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD， ∵AC∥BD， ∴∠CAD=∠ADB， ∴∠BAD=∠ADB， ∴AB=BD， ∴四边形ABDE是菱形； （2）解：∵∠ABC=90°， ∴∠GBH+∠ABG=90°， ∵AD⊥BE， ∴∠GAB+∠ABG=90°， ∴∠GAB=∠GBH， ∵cos∠GBH=， ∴cos∠GAB=， ∴==， ∵四边形ABDE是菱形，BD=14， ∴AB=BD=14， ∴AH=16，AG=， ∴GH=AH﹣AG=．

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