题目

若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m． （1）若x2﹣1比3接近0，求x的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近； （3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1﹣sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）． 答案：考点： 绝对值不等式的解法；其他不等式的解法． 专题： 计算题；压轴题；新定义；转化思想． 分析： （1）根据新定义得到不等式|x2﹣1|＜3，然后求出x的范围即可． （2）对任意两个不相等的正数a、b，依据新定义写出不等式，利用作差法证明：a2b+ab2比a3+b3接近； （3）依据新定义写出函数f（x）的解析式， 直接写出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性，即可． 解答： 解：（1）|x2﹣1|＜3，0≤x2＜4，﹣2＜x＜2 x∈（﹣2，2）； （2）对任意两个不相等的正数a、b， 有，， 因为， 所以， 即a2b+ab2比a3+b3接近； （3）， k∈Z，f（x）是偶函数，f（x）是周期函数， 最小正周期T=p，函数f（x）的最小值为0， 函数f（x）在区间单调递增， 在区间单调递减，k∈Z． 点评： 本题是新定义题目，直线审题是能够解题的根据，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果．注意转化思想的应用．

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