题目

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD边上的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE.（1）求证：AD′⊥EB；（2）求直线AC与平面ABD′所成角的大小. 答案：解法一：（1）证明:因为AD′=D′E=1,取AE的中点O，连结D′O，则D′O⊥AE， ∵平面D′AE⊥平面ABCE，且交线为AE，∴D′O⊥平面ABCE.                              以O为原点，平行于BC的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，OD′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图所示，则A（，-，0）,B（，，0），C（-，，0），E（-，，0），D′（0，0，），∴=（-，，），=（-1，-1，0）.                                              ∵·=（-）×（-1）+×（-1）+×0=0，∴⊥，即AD′⊥BE.                                                                                   （2）解:设平面ABD′的法向量为n=(x,y,z).则即                                                      ∴令z=1，则x=.∴平面ABD′的一个法向量是n=(,0,1).                                                               ∴cos〈,n〉===-.                                        设直线AC与平面ABD′所成的角为θ，则sinθ=|cos〈,n〉|=.∴直线AC与平面ABD′所成的角为Arcsin.                                                     解法二：（1）证明:在RT△BCE中，BE==，在RT△AD′E中，AE==，∵AB2=22=BE2+AE2，∴AE⊥BE.                                                                                   ∵平面AED′⊥平面ABCE，且交线为AE，∴BE⊥平面AED′.                                                                                                  ∵AD′平面AED′，∴AD′⊥BE.                                                                                                             (2)解:设AC与BE相交于点F，由（1）知AD′⊥BE，∵AD′⊥ED′,∴AD′⊥平面EBD′.                                                                                                 ∵AD′平面AED′，∴平面ABD′⊥平面EBD′，且交线为BD′.作FG⊥BD′，垂足为G，则FG⊥平面ABD′，连结AG，则∠FAG是直线AC与平面ABD′所成的角.                                             由平面几何的知识可知==，∴EF=13EB=.在RT△AEF中，AF===，在RT△EBD′中，=，可求得FG=.                                                  ∴sin∠FAG===.∴直线AC与平面ABD′所成的角为arcsin.                                                     

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