题目

如图所示，在△DEM中，＝(0，－8)，N在y轴上，且点E在x轴上移动． (1)求点M的轨迹方程； (2)过点F(0,1)作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与点M的轨迹交于点A、B，l2与点M的轨迹交于点C、Q，求的最小值．   答案：　(1)设M(x，y)，E(a,0)，由条件知D(0，－8)， ∵N在y轴上且N为EM的中点，∴x＝－a， ∵＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－a)－8y＝2x2－8y＝0，∴x2＝4y(x≠0)， ∴点M的轨迹方程为x2＝4y(x≠0)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直线l1：y＝kx＋1(k≠0)，则直线l2：y＝－x＋1， 由消去y得，x2－4kx－4＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 由消去y得，x2＋x－4＝0， ∴x3＋x4＝－，x3x4＝－4. ∵A、B在直线l1上，∴y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1， ∵C、Q在直线l2上，∴y3＝－x3＋1，y4＝－x4＋1. ∴＝(x3－x1，y3－y1)·(x2－x4，y2－y4) ＝(x3－x1)(x2－x4)＋(y3－y1)·(y2－y4) ＝(x3－x1)(x2－x4)＋(－x3－kx1)(kx2＋x4) ＝x3x2－x1x2－x3x4＋x1x4－x2x3－k2x1x2－x3x4－x1x4 ＝(－1－k2)x1x2＋(－1－)x3x4＝4(1＋k2)＋4(1＋)＝8＋4(k2＋)≥16等号在k2＝时取得， 即k＝±1时成立．∴的最小值为16.

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