题目

已知Sn是数列{an}的前n项和，且an=Sn-1+2（n≥2），a1=2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n,有Tn＞恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 答案：（1）an=2·2n-1=2n（2）存在最大正整数k=5使Tn＞恒成立 解析:（1）由已知an=Sn-1+2                                             ① 得an+1=Sn+2                                                ② ②-①，得an+1-an=Sn-Sn-1 (n≥2), ∴an+1=2an (n≥2). 又a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1, ∴an+1=2an (n=1,2,3,…) 所以数列{an}是一个以2为首项，2为公比的等比数列， ∴an=2·2n-1=2n. (2)bn===, ∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n=++…+, Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1) =++…+++. ∴Tn+1-Tn=+- = =. ∵n是正整数，∴Tn+1-Tn＞0，即Tn+1＞Tn. ∴数列{Tn}是一个单调递增数列， 又T1=b2=，∴Tn≥T1=, 要使Tn＞恒成立，则有＞,即k﹤6, 又k是正整数，故存在最大正整数k=5使Tn＞恒成立.

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