题目

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2.   （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的 圆与直线PF的位置关系，并加以证明． 答案：解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，． 由题意知解得.             ………2分 故椭圆的方程为.                   ………4分 （Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．     证明如下：由题意可知，，，直线的方程为. 则点坐标为，中点的坐标为，圆的半径  ………6分 由得．                 设点的坐标为，则                      ………8分 因为点坐标为，直线的斜率为，直线的方程为： 点到直线的距离．                   ………10分 所以．   故以为直径的圆与直线相切．         ………12分

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