题目

综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图② （一）填一填，做一做：（1）图②中，∠CMD＝　　．线段NF＝　　（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④．（二）填一填（3）图③中阴影部分的周长为　　．（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝　　°．（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有　　对；（6）如图④点A′落在边ND上，若＝，则＝　　（用含m，n的代数式表示）．答案：【解答】解：（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形， ∴EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD， ∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处， ∴DN＝CD＝2DE，MN＝CM， ∴∠EDN＝60°， ∴∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2， ∴∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；故答案为：75°，4﹣2；（2）△AND是等边三角形，理由如下：在△AEN与△DEN中，， ∴△AEN≌△DEN（SAS）， ∴AN＝DN， ∵∠EDN＝60°， ∴△AND是等边三角形；（3）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处， ∴A′G＝AG，A′H＝AH， ∴图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝3×4＝12；故答案为：12；（4）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处， ∴∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG， ∵∠A′GN＝80°， ∴∠AGH＝50°， ∴∠AHG＝∠A′HG＝70°， ∴∠A′HD＝180°﹣70°﹣70°＝40°；故答案为：40；（5）如图③， ∵∠A＝∠N＝∠D＝∠A′＝60°， ∠NMG＝∠A′MN，∠A′NM＝∠DNH， ∴△NGM∽△A′NM∽△DNH， ∵△AGH≌△A′GH ∴图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，故答案为：4；（6）设＝＝a，则A'N＝am，A'D＝an， ∵∠N＝∠D＝∠A＝∠A′＝60°， ∴∠NA′G+∠A′GN＝∠NA′G+∠DA′H＝120°， ∴∠A′GN＝∠DA′H， ∴△A′GH∽△HA′D， ∴＝＝，设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y， ∴＝＝，解得：x＝y， ∴＝＝＝；故答案为：．

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