题目

近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次． （Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X： ①求对商品和服务全好评的次数X的分布列； ②求X的数学期望和方差． 附临界值表：  P（K2≥k）  0.15  0.10  0.05  0.025  0.010  0.005  0.001  k  2.072  2.706  3.841  5.024  6.635  7.897  10.828 K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d） 关于商品和服务评价的2×2列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 a=80 b=　　 　　 对商品不满意 c=　　 d=10 　　 合计 　　 　　 n=200 答案：【考点】独立性检验的应用． 【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案； （Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）； ②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差． 【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 …2分 K2=≈11.111＞10.828 …4分 故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．…5分 （2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3． 其中P（X=0）=0.63=； P（X=1）=C31•0.4•0.62=；…7分 P（X=2）=C32•0.42•0.6=； P（X=3）=C33•0.43=．…9分 X的分布列为： X 0 1 2 3 P …10分 ②由于X～B（3，0.4），则E（X）=3×0.4=1.2，D（X）=3×0.4×0.6=0.72…12分． 【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题． 　

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