题目

如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C-PA-B的余弦值. 答案：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB.∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴CD⊥AB. 又∵PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB. （2）解法一：取PA的中点E，连结CE、DE.∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=.∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA.∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角. 由（1）得AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC.又∵AB=BC，AC=2，求得BC=.解法二：∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l∥PA，则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）. 设平面PAB的法向量为m=(x,y,z).A(0,,0),P(,0,2),C(,0,0),∴=(0,2,0),=(,-,2).则即解得令z=-1,得m=(,0,-1). 设平面PAC的法向量为n=(x1,y1,z1)，=(0,0,2),AC=(2,-2,0),则即解得令x1=1,得n=(1,1,0). ∴cos〈m,n〉=. ∴二面角C-PA-B的大小为arccos. 解法三：∵CD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量.取AC的中点F，∵AB=BC=，∴BF⊥AC.又∵PC⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，∴BF⊥平面PAC.∴是平面PAC的一个法向量.=(+). 设=λ+(1-λ),∵⊥BP,即·=0,得(λ+(1-λ))·(-)=0,由(1)知·=0,·=0,∴λ||2-(1-λ)||2=0.而||=2,||=2,∴λ=.∴CD=CP+CB. ||2=×4+×2=,||2=×(2+2)=1, ∴cos〈,〉==.

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