题目

已知函数．    （1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；    （2）当时，若函数在区间上的最大值为28，求的取值范围． 答案： (1)∵曲线y＝f(x)＝ax2＋1与曲线y＝g(x)＝x3＋bx交于点(1，c)        ∴a+1=c，b+1=c      ∴a=b………………………………………………………………………1分   ∵f(x)＝ax2＋1(a＞0)       ∴f′(x)＝2ax，f(1)＝a＋1       ∴f′(1)＝2a   ∴公切线方程为y－(a+1)＝2a(x－1)，即y=2ax－(a－1)…………3分   又∵g(x)＝x3＋bx   ∴g′(x)＝3x2＋b，g(1)=b+1   ∴g′(1)＝b+3   ∴公切线方程为y－(b+1)＝(b+3)(x－1)，即y=(b+3)x－2………5分    比较两条公切线的方程知   ∴a＝b＝3.……………………………………………………………7分    (2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，则当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1   ∴h′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x+3)(x－1)……………………………8分 x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，2) 2 h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ H(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗ 3    …………………………………………………………………………10分   又∵函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为28＝h(－3)   ∴k的取值范围是(－∞，－3]．……………………………………12分

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