题目

（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证： =； （2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证：MN2=DM•EN． 答案：【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=； （2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN； ②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案． 【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中， ∵DP∥BQ， ∴△ADP∽△ABQ， ∴=， 同理在△ACQ和△APE中， =， ∴=． （2）①作AQ⊥BC于点Q． ∵BC边上的高AQ=， ∵DE=DG=GF=EF=BG=CF ∴DE：BC=1：3 又∵DE∥BC， ∴AD：AB=1：3， ∴AD=，DE=， ∵DE边上的高为，MN：GF=：， ∴MN： =：， ∴MN=． 故答案为：． ②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°， ∴∠B=∠CEF， 又∵∠BGD=∠EFC， ∴△BGD∽△EFC， ∴=， ∴DG•EF=CF•BG， 又∵DG=GF=EF， ∴GF2=CF•BG， 由（1）得==， ∴×=•， ∴（）2=•， ∵GF2=CF•BG， ∴MN2=DM•EN． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大． 　

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