题目

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过D点作PF∥AC交⊙O于F，交AB于点E，∠BPF=∠ADC． （1）求证：BP是⊙O的切线； （2）求证：AE•EB=DE•EF； （3）当⊙O的半径为，AC=2，BE=1时，求BP的长． 　 答案：【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，进而得出∠PEB+∠BPF=90°，从而证得PB是ʘO的切线； （2）证得△AEF∽△DEB，从而得出=，即可证得AE•EB=DE•EF； （3）先根据勾股定理求得BC的长，进而根据△ABC∽△EPB，对应边成比例即可求得BP的长． 【解答】（1）证明：连结BC， ∵AB是ʘO的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90°， 又∵∠ABC=∠ADC，∠ADC=∠BPF， ∵PF∥AC， ∴∠CAB=∠PEB， ∴∠PEB+∠BPF=90°， ∴PB⊥AB， ∴PB是ʘO的切线； （2）连结AF、BD． 在△AEF和△DEB中， ∠AEF=∠DEB．∠AFE=∠DBE， ∴△AEF∽△DEB， ∴=，即AE•EB=DE•EF； （3）在Rt△ABC中，BC2=（2）2﹣22 ∴BC=4， 在Rt△ABC和Rt△EPB中， ∠ABC=∠ADC=∠BPF， ∴△ABC∽△EPB， ∴=， ∴BP==2． 【点评】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 　

查看本题答案和解析