题目

已知△ABC中，BC=4，2sinC=2sinB+sinA.求顶点A的轨迹方程. 答案：顶点A的轨迹方程是x2-=1(x＞1). 解析:如图所示, 以直线BC为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系. ∵|BC|=4，∴B（-2，0），C（2，0）， 由2sinC=2sinB+sinA，利用正弦定理可得 2|AB|=2|AC|+|BC|， 即|AB|-|AC|=|BC|=2＜4， 即点A到点B的距离与到点C的距离之差是常数2. 由双曲线的定义可知，点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支（除顶点）. 其中，2a=2,∴a=1.2c=4.∴c=2.从而b2=c2-a2=3. ∴顶点A的轨迹方程是x2-=1(x＞1).

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